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Wie erkennt man, ob der Graph einer Funktion Grenzen aufweist?

Die Grenze einer reellen Funktion untersucht das Verhalten, das die Bilder der Funktion f (x) haben, wenn sich die Variable " x " einem Wert " c " nähert, dh wenn sich " x " " c " nähert ”Die Bilder von f (x) nähern sich“ L ”, wobei“ L ”die Grenze ist.

Ekuatio.com definiert die mathematische Grenze auf einfache Art und Weise, wenn behauptet wird, dass die Grenze einen Wert bestimmt, den eine Funktion annähert, wenn „x“ zu einem Punkt „c“ tendiert, diesen Punkt jedoch nicht erreicht (berührt).

Symbolisch ist die Grenze in der Mathematik fx = L geschrieben.

Der Ausdruck fx = L lautet wie folgt:

Die Grenze der Funktion f, wenn " x " zu "c" tendiert, ist gleich L. Wenn wir sagen, dass "x" zu "c" tendiert, werden die lateralen Grenzen intrinsisch untersucht (rechts oder links).

Auf diese Weise wird die Grenze rechts symbolisch wie folgt geschrieben: fx und untersucht das Verhalten der Bilder der Funktion f (x) für die Werte von „ x “ in der Nähe von „c“ rechts.

Während die Grenze links symbolisch geschrieben ist, studiert fx das Verhalten der Bilder f (x) für die Werte von "x" in der Nähe von "c" links.

Wenn Sie die Grenzen einer Funktion auf ihren Seiten untersuchen, wird festgestellt, dass die Grenze existiert und eindeutig ist.

Wir beschäftigen uns mit der Definition der Grenze in der Grafik einer Funktion und anderen verwandten mathematischen Konzepten.

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Definition der Grenze in Bezug auf Epsilon-Delta (ɛ-δ)

Der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass (1815-1897) schlug die Definition der mathematischen Grenze in terms-δ vor, also:

„ Wenn es möglich ist, ein Maß δ so zu bestimmen, dass für jeden Wert h, der betragsmäßig kleiner als δ ist, f (x + h) - f (x) kleiner ist als ein beliebig kleinerer Betrag ɛ, wird gesagt was gemacht wurde, um einer unendlich kleinen Variation der Variablen und einer unendlich kleinen Variation der Funktion zu entsprechen ”.

Sowohl Augustin Cauchy als auch Weierstrass haben einen großen Teil ihrer Meditationen darauf verwendet, diesen Begriff auf eine logisch fundierte Basis zu stellen und ihm so eine "logische Genauigkeit" zu verleihen, unabhängig von jeglicher geometrischen Intuition.

Diese strenge Definition der Grenze lautet wie folgt: Sei f eine in einem offenen Intervall definierte Funktion, die "c" (außer möglicherweise in c) und L eine reelle Zahl enthält. Die Bestätigung:

fx = L

Es bedeutet: für alle ɛ> 0 gibt es ein δ> 0, so dass, wenn 0 <| xc | <δ, dann | f (x) -L | <ɛ. Grafisch wird die Definition des Grenzwerts in Bezug auf das Epsilon-Delta wie folgt dargestellt:

Die Definition der Grenze in Form von Epsilon-Delta (ɛ-δ) wird für Demonstrationen in den Fächern Berechnung (infinitesimal) und mathematische Analyse verwendet.

Heute nennt man es die formale Definition der Grenze, die primäre Grundlage für das Konzept von Kontinuität, Ableitungen und Integralen von reellen Funktionen .

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Verfahren zum Ermitteln des Werts eines Limits

Als Nächstes werden die drei grundlegenden Verfahren zum Ermitteln des Werts eines Limits erläutert.

Wert einer Grenze in der Mathematik (durch numerisches Verfahren)

Der numerische Begriff der Grenze in der Mathematik geht auf den französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789-1857) zurück, der wie folgt definiert ist:

"Wenn die Werte, die nacheinander derselben Variablen zugeordnet werden, auf unbestimmte Zeit einen festen Wert annehmen, so dass sie sich so wenig unterscheiden, wie Sie möchten, nennt man letzteres das Limit aller anderen."

Zum besseren Verständnis werden wir den Wert der 3x + 5- Grenze durch eine bestimmte Übung unter Verwendung des numerischen Verfahrens schätzen.

Beispiel für ein numerisches Grenzwertverfahren:

Anhand der Zahl finden wir die Grenze von f (x) = 3x + 5, wenn "x" gegen 1 tendiert.

Dazu wird eine Tabelle erstellt, die drei Werte annähernd links von x = 1 (0, 9; 0, 99 und 0, 999) enthält.

Dann werden die Bilder von "f (x)" in jedem der Punkte (f (0, 9); f (0, 99); f (0, 999)) gefunden, und es wird beobachtet, dass die Werte der Bilder nahe beieinander liegen 8.

Auf die gleiche Weise wird eine Tabelle mit drei Werten nahe rechts von x = 1 (1.001; 1.01; 1, 1) erstellt.

Anschließend werden die Bilder "f (x)" in jedem der Punkte (f (1, 001); f (1, 01); f (1, 1)) gefunden, und es wird beobachtet, dass die Werte der Bilder ebenfalls nahe beieinander liegen 8.

Mit diesem Prozess wird das numerische Verhalten der Grenze untersucht und es wird geschlossen, dass sich die Bilder von f (x) willkürlich zu 8 nähern, wenn sich "x" 1 links oder rechts nähert. Daher 3x +5 existiert und sein Wert ist 8.

Die erhaltene Tabelle ist wie folgt:

Ermitteln Sie den Wert eines Grenzwerts anhand des Diagramms

Über den Begriff der Grenzen in der Mathematik in seiner intuitiven geometrischen Form (grafische Darstellung) zu sprechen, geht auf die Beiträge von Newton und Leibniz im 17. und 18. Jahrhundert zu den Methoden des Differentialquotienten und der Flüsse zurück.

Obwohl dieser Begriff für diese Zeiten nicht sehr genau war, wird er heute behandelt, wenn die Grenze einer Funktion f (x) um einen Punkt „c“ untersucht wird, dh fx = L. Grafisch können wir es so darstellen:

Es ist wichtig zu klären, dass f (c) das Verhalten der Funktion f beim Wert "c" untersucht, während fx das Verhalten der Funktion um den Wert "c" untersucht. Auf diese Weise wird die Grenze um einen Punkt herum untersucht, der nicht an dem Punkt liegt.

Zum besseren Verständnis werden wir den Wert der 3x + 5-Grenze anhand der grafischen Prozedur in der folgenden Übung schätzen.

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Limit im Graphen einer Funktion

Das Hauptziel besteht zunächst darin, die Funktion f (x) = 3x + 5 grafisch darzustellen. Da es sich um eine lineare Funktion oder ein Polynom ersten Grades handelt, ist es ausreichend, zwei Punkte zu finden und die Linie grafisch darzustellen.

Dazu nehmen wir die Schnittpunkte (x = 0, y = 0) und erhalten (0, f (0) = 5) und (x = -5 / 3, 0).

Der Graph von f (x) ist wie folgt:

Nachdem wir den Graphen der Funktion f (x) = 3x + 5 erhalten haben, untersuchen wir das Verhalten der Bilder von „f (x)“ um x = 1, dh 3x + 5.

Wir können beobachten, wie sich die Bilder von „f (x)“ um x = 1 8 nähern und keine Sprünge oder Zuwächse oder Abnahmen in Richtung unendlich oder weniger unendlich aufweisen.

Daher sagen wir, dass die seitliche Grenze rechts wie links ungefähr 8 beträgt und bestimmt wird, dass die Grenze existiert und eindeutig ist .

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Begrenzung auf eine Funktion pro Analyseverfahren

Um diese Art von Verfahren anzugehen und den Wert eines Grenzwerts zu schätzen, müssen zuerst die folgenden grundlegenden Eigenschaften der Grenzwerte behandelt werden:

Sei b, c reelle Zahlen, n eine positive ganze Zahl, f und g funktionieren.

Skalares Vielfaches, b = b, die Grenze einer Konstanten ist eine Konstante.
Konstante durch Funktion, bf (x) = bf (x), die Grenze einer Konstanten oder reellen Zahl durch eine Funktion ist gleich der Multiplikation der Konstanten mit der Grenze der Funktion .
Summe oder Differenz, fx ± gx = fx ± gx, die Grenze der Summe oder Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der Grenzen jeder Funktion .
Produkt, fxgx = fx gx, die Produktgrenze zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzen jeder Funktion .
Quotient, f (x) gx = f (x) g (x), solange g (x) ≤ 0 ist, ist die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen gleich dem Quotienten der Grenzen jeder Funktion .
Potenz, f (x) g (x) = [limx → cfx] x → cg (x), die Grenze einer Potenz ist gleich der Basisgrenze, die auf die Exponentengrenze angehoben wird.

Mit diesen Eigenschaften und algebraischen Operationen können Sie den genauen numerischen Wert der Grenze einer Funktion um einen Punkt berechnen, unabhängig von der Grafik oder den Approximationen.

Ermitteln Sie die Grenze einer Funktion mithilfe eines Analyseverfahrens

Wir werden das folgende Beispiel ansprechen, um das Limit zu finden und 2x + 3 zu berechnen.

Wir beginnen mit der Anwendung der dritten Eigenschaft, die sich mit der Summe oder Differenz der Grenzen befasst .

Wenden Sie die Eigenschaft, die Sie haben, auf 2x + 3 = 2x + 3 an, dann wenden Sie die Eigenschaft Nummer zwei (Konstante für eine Funktion) an und damit 2x + 3 = x + 3.

Wenn Sie schließlich Eigenschaft Nummer eins (Skalares Vielfaches) verwenden und x = 1 auswerten, wobei das "x" ist, haben Sie 2x + 3 = 2 * 1 + 3 = 5.

Auf diese Weise wird der genaue Zahlenwert der Grenze von f (x) = 2x + 3 erhalten, wenn "x" gegen 1 tendiert, dessen Wert 5 ist.

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Wann gibt es kein Limit?

Wir wissen, dass es keine Grenze gibt, wenn die Bilder von f (x) in den Werten in der Nähe von „x = c“ rechts und links sich nicht dem gleichen Wert annähern.

Somit zeigen die Bilder f (x) Sprünge oder abrupte Zunahmen oder Abnahmen gegen unendlich oder weniger unendlich.

Es gibt drei verschiedene Arten , anhand des Diagramms einer Funktion festzustellen, ob ein Grenzwert vorhanden ist .

Wissen Sie, ob das Limit nicht existiert, Methode 1

Das erste, f (x) wächst oder sinkt ohne Dimension, wenn "x" zu "c" tendiert, das heißt, dass die Bilder von "f" größer oder kleiner werden, wenn "x" nahe Werte annimmt zu "c".

Lassen Sie es uns grafisch sehen:

In diesem speziellen Fall nehmen die Bilder f (x) ohne Dimension ab, wenn sich "x" 1 auf der linken Seite nähert, weshalb fx nicht existiert. Wenn sich dann „x“ rechts 1 nähert, wachsen die Bilder f (x) ohne Dimension, daher existiert fx nicht die Grenze .

Fazit: fx existiert nicht .

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Wann gibt es kein Limit? Methode 2

Der zweite Fall, f (x), oszilliert zwischen zwei festen Werten, wenn "x" zu "c" tendiert.

Wir können beobachten, dass, wenn "x" sich -2 auf der rechten Seite nähert, die Bilder f (x) 1 sind, daher fx = (1) = 1.

Wenn sich "x" links -2 nähert, sind die Bilder f (x) -1, daher ist fx = (- 1) = -1.

Fazit, fx existiert nicht die Grenze .

Nichtexistenz der mathematischen Grenze. Methode 3

Was nun den dritten Typ betrifft, wenn f (x) zu unterschiedlichen Zahlen tendiert, während "x" zu "c" rechts oder links tendiert.

Sehen wir uns die folgende Grafik an:

Es wird beobachtet, dass, wenn "x" sich links 0 nähert, sich die Bilder f (x) -3 nähern, daher fx = (x2-3) = -3.

Wenn sich andererseits "x" rechts 0 nähert, nähern sich die Bilder f (x) 1, daher ist fx = (1-x) = 1.

Somit existiert die Grenze der Funktion f (x), wenn "x" gegen 0 tendiert, nicht, so dass fx nicht existiert.

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Was ist eine Grenze in der Unendlichkeit?

Wenn man von einer Grenze im Unendlichen spricht, muss man die Grenze einer Funktion untersuchen, wenn „x“ zu sehr großen oder sehr kleinen Werten tendiert, während sich die Bilder näher am Grenzwert befinden.

Symbolisch bedeutet fx = L, dass es für jedes epsilon > 0 M> 0 gibt, so dass | f (x) −L | M.

Wenn also "x" größere Werte annimmt, sind die Bilder f (x) näher an dem Wert von L.

Wenn wir nun fx = L studieren, bedeutet dies, dass für jedes epsilon > 0 N <0 ist, so dass | f (x) −L | <ε vorausgesetzt, dass x <N ist.

Wenn also "x" kleinere Werte annimmt, sind die Bilder f (x) näher an dem Wert von L.

Lassen Sie uns das folgende Beispiel analysieren, um den Unterschied zwischen der Untersuchung einer Grenze einer Funktion, wenn „x“ zu einem festen Punkt tendiert und wenn „x“ zu sehr großen oder sehr kleinen Werten tendiert, das heißt nicht zu einem festen Wert, zu berechnen und im Detail zu beobachten .

Auf unendlich beschränken, Beispiel:

Wenn f (x) = 1 / x +1 ist, werden wir das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine "x" -Werte untersuchen, dh wir werden fx und fx finden.

Zunächst durch das numerische Verfahren haben wir:

Es wird beobachtet, dass, wenn "x" sehr große Werte annimmt, sich die Bilder f (x) willkürlich 1 nähern.

Daher ist 1x + 1) = 1.

In ähnlicher Weise nähern sich die Bilder f (x), da "x" sehr kleine Werte annimmt, willkürlich 1 an, daher 1x + 1) = 1.

Somit ist 1x + 1) = 1.

Untersucht man nun die Grenze im Unendlichen für dieses spezielle Beispiel durch grafische Prozedur, so wird das Vorhandensein der Funktionsgrenze für sehr große und sehr kleine "x" -Werte angezeigt, die in gewisser Weise nahe an af (x) = 1 liegt asymptotisch